Thursday, January 17, 2019

Barisan dan Deret aritmatika bertingkat



Barisan aritmetika tingkat kedua biasa ditemui pada tes-tes dalam soal TKPA pada materi pola bilangan. Namun ternyata pada kurikulum 2013, materi ini merupakan salah satu prediksi materi soal yang akan diujikan pada UN SMP dan SMA. di SMA kelas XI pada semester 1 materi ini disinggung pada Bab induksi matematika dan di semester 2 ada lagi pada bab barisan dan deret, Sedangkan pada kebanyakan buku ringkasan materi, penjelasan mengenai barisan dan deret aritmetika tingkat kedua ini belum spesifik dijabarkan. Maka dari itu, disini kita akan mencari asal-usul dan cara mencari rumus Un dan  Sn barisan aritmetika tingkat kedua.
A. Pengertian
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana setiap dua suku yang berurutan memiliki selisih atau beda yang tetap. Deret aritmetika adalah penjumlahan suku-suku terurut barisan aritmetika.
Perbedaan barisan dan deret terletak pada tanda pemisah antar sukunya. Pada barisan, suku – sukunya dipisahkan dengan tanda koma (,), sedangkan pada deret setiap sukunya dipisahkan dengan tanda tambah (+).
Contoh barisan : 1, 3, 5, 6, ....
Contoh deret : 1 + 3 + 5 + 6 + ....
Bentuk barisan aritmetika adalah U1, U2, U3, ...,Un , sedangkan bentuk deret aritmetika adalah U1 + U2 + U3 +...+Un  dengan :
 U1 Suku pertama
 U2 Suku ke-2
 Un Suku ke-n
Beda pada barisan aritmetika biasa dilambangkan dengan huruf b, dengan
b= U2 - U1= U3 - U2= .....=Un-Un-1
Bagaimana jika barisan bilangan yang dimaksud tidak memiliki beda konstan, namun selisih konstannya ditemukan pada selisih barisan aritmetika tersebut?
Barisan yang demikian disebut dengan barisan aritmetika bertingkat. Kali ini kita akan mempelajari lebih lanjut mengenai barisan dan deret aritmetika tingkat kedua.
Untuk memberikan gambaran, perlu diketahui bahwa contoh dari barisan aritmetika tingkat dua adalah 1, 3, 6, 10, 15,.....
B. Menemukan Suku ke-n barisan Aritmetika Tingkat kedua

Ada beberapa cara untuk mencari suku ke-n barisan aritmetika tingkat kedua. Cara pertama menggunakan metode substitusi yang telah dipelajari di SMP. Cara kedua lebih umum karena dapat digunakan untuk tingkat berapapun, hanya saja harus menguasai materi faktorial yang baru diajarkan di SMA.
a. Cara I
    Suku ke-n pada barisan aritmetika tingkat kedua berbentuk Un=an2+bn+c 
 

Dari pola di atas, kita dapat dengan mudah mencari nilai a,b dan c.
b. Cara II (Menggunakan rumus suku ke-n barisan aritmetika bertingkat)

Misalkan U1=a suku pertama. b,c,d dan seterusnya adalah beda tiap tingkatan.
 

Diperoleh :


Maka untuk barisan aritmetika tingkat kedua, suku ke-n:


C. Menemukan Jumlah n Suku Pertama Barisan Aritmetika Tingkat Kedua
Jumlah n suku pertama barisan aritmetika dilambangkan dengan Sn. Pada dasarnya, untuk mencari rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmetika bisa dilakukan menggunakan konsep berikut.
Sn pada suatu barisan aritmetika bertingkat bisa ditemukan dengan menggunakan Un barisan aritmetika dengan tingkat di atasnya.
Misalnya, untuk mencari Sn barisan aritmetika tingkat kedua, sama halnya dengan mencari Un barisan aritmetika tingkat ketiga.
Contoh :
Tentukan rumus Sn dari deret  1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ........  ?
Perhatikan pola deret aritmetika tingkat tiga berikut.
 


Baris pertama merupakan nilai Sn dari deret 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ........ yang dapat dijabarkan sebagai berikut.


Dengan membandingkan kedua pola di atas, maka jelas dengan mudah dapat diketahui nilai a, b, c dan d untuk pola aritmetika tingkat kedua. Yaitu nilai a=1, b=3, c=3 dan d=1. Setelah menemukan nilai a, b, c dan d maka kita bisa menemukan suku ke-n (Un) pada barisan aritmetika tingkat ke-3 yang dimaksud.
Jadi rumus yang harus kita fahami adalah rumus Un barisan aritmetika bertingkat : dengan U1=a suku pertama. b,c,d dan seterusnya adalah beda tiap tingkatan.
D. Latihan Soal dan Pembahasan
1. Diketahui barisan bilangan 12, 20, 30, 42, …
Suku ke-22 adalah …. (UN SMP 2017)
Jawab
  • Cara I
Diketahui barisan bilangan:
 
Barisan tersebut merupakan barisan aritmetika tingkat 2.
Dari uraian materi di atas, diperoleh:


 

  • Cara II
 


Rumus suku ke-n barisan aritmetika tingkat kedua.


Jadi, suku ke-22 dari barisan tersebut adalah 600.


2. Carilah jumlah 22 suku yang pertama dari 12 + 20 + 30 + 42 +…
          Jawab
 




Ayo berlatih!
1. Suku ke-70 barisan bilangan 8, 15, 24, 35, … adalah ….
2. Rumus suku ke-n barisan bilangan 11, 19, 30, 44,61 … adalah ….
3. Diketahui suatu deret bilangan 7 + 10 + 16 + 25 + 37 + …
    Nilai S23 dari deret tersebut adalah ….










  Semoga Bermanfaat...

UUS


No comments:

Post a Comment

Tinggalkan pesan anda.